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内容介绍非线性动力系统广泛存在于工程、物理、生物等多个领域其参数估计与状态识别是实现系统控制、故障诊断及模型验证的核心前提。

然而实际应用中普遍面临测量噪声干扰、观测方式间接、系统强非线性等问题传统识别方法易出现精度不足、鲁棒性欠佳甚至算法发散等缺陷。

无迹卡尔曼滤波Unscented Kalman Filter, UKF基于无迹变换Unscented Transformation, UT无需对非线性函数进行线性化处理可精准传播状态分布的统计特性为解决上述难题提供了有效路径。

本文系统阐述UKF的核心原理与算法流程分析其相较于扩展卡尔曼滤波EKF在处理不确定和间接测量非线性动力系统时的优势通过数值仿真与实验验证该方法的有效性并对未来研究方向进行展望为强非线性、高不确定性系统的实时精准识别提供理论支撑与工程参考。

关键词无迹卡尔曼滤波无迹变换非线性动力系统系统识别不确定测量间接观测1 引言

1 研究背景与意义非线性动力系统的行为特性由其内在参数与状态变量共同决定精准识别这些核心信息对结构健康监测、目标跟踪、混沌系统控制、生物动力学分析等场景具有重要意义。

例如在土木工程结构健康监测中需通过传感器采集的动力响应识别结构刚度、阻尼等参数的变化以判断结构损伤状态在自动驾驶目标跟踪中需从含噪声的观测数据中估计目标的位置、速度等状态为决策控制提供依据。

但实际工程与科学研究中非线性动力系统识别常面临三大核心挑战一是测量不确定性传感器噪声、环境干扰导致观测数据存在偏差传统方法难以有效抑制噪声影响二是间接测量约束受测量条件限制无法直接获取系统核心状态需通过非线性观测方程推导进一步加剧了识别难度三是系统强非线性混沌系统、高维动力学模型中线性化近似易引入截断误差导致识别精度下降甚至算法失效。

因此开发适用于不确定和间接测量场景的高鲁棒性、高精度非线性动力系统识别方法具有重要的理论价值与工程实用性。

2 研究现状与不足针对非线性动力系统识别问题传统方法可分为非递归类与递归类。

非递归方法如回归分析、最大似然估计等未充分利用系统时间连续性信息在噪声环境下参数估计精度较低且面对混沌系统等复杂场景时因成本函数非凸性易陷入局部最优。

递归方法以卡尔曼滤波家族为代表其中扩展卡尔曼滤波EKF通过一阶泰勒展开对非线性函数进行线性化是早期处理非线性问题的主流方法。

但EKF存在显著局限性其一线性化误差累积高阶项截断导致估计偏差随时间扩大在强非线性系统中易引发滤波发散其二雅可比矩阵计算复杂需手动推导非线性函数导数工程实现难度大且易出错其三对初始误差敏感初始状态与参数估计偏差可能导致全局最优性丧失。

为克服这些缺陷学者们提出了多种改进方案其中UKF凭借无需线性化、精度更高、鲁棒性更强的优势逐渐成为非线性系统识别的首选工具。

目前UKF在非线性动力系统识别中的应用已取得一定进展但在非高斯噪声适应、高维系统计算效率优化、间接观测方程适配等方面仍有待进一步深入研究。

3 研究内容与框架本文聚焦UKF在不确定和间接测量非线性动力系统识别中的应用主要研究内容包括梳理非线性动力系统模型与识别问题本质阐述UKF的核心原理与算法流程对比分析UKF与EKF的性能差异明确UKF在处理不确定和间接测量场景的优势通过混沌系统数值仿真与结构非线性识别实验验证UKF的识别精度与鲁棒性最后

总结研究成果展望未来优化方向。

本文研究框架为理论基础→方法优势→实验验证→结论与展望旨在构建一套完整的UKF-based非线性动力系统识别体系。

2 理论基础

1 非线性动力系统模型考虑离散时间非线性动力系统其状态方程与观测方程分别表示为状态方程\( \boldsymbol{x}_k f(\boldsymbol{x}_{k-1}, \boldsymbol{u}_{k-1}, \boldsymbol{w}_{k-1}) \)观测方程\( \boldsymbol{z}_k h(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{v}_k) \)其中\( \boldsymbol{x}_k \in \mathbb{R}^n \) 为k时刻系统状态向量\( \boldsymbol{u}_{k-1} \) 为控制输入向量\( \boldsymbol{z}_k \in \mathbb{R}^m \) 为观测向量\( f(\cdot) \) 为非线性状态转移函数\( h(\cdot) \) 为非线性观测函数体现间接测量特性\( \boldsymbol{w}_{k-1} \) 为过程噪声\( \boldsymbol{v}_k \) 为测量噪声二者均假设为零均值高斯白噪声协方差矩阵分别为 \( Q \) 和 \( R \)。

系统识别的目标的是基于观测序列 \( \{\boldsymbol{z}_1, \boldsymbol{z}_2, \dots, \boldsymbol{z}_k\} \)估计系统状态 \( \boldsymbol{x}_k \) 与未知参数 \( \boldsymbol{\theta} \)可将参数扩充至状态向量中实现同步估计。

2 无迹变换UT核心原理UT是UKF的核心其本质是通过确定性采样策略生成一组Sigma点使这些点能够完全捕获状态分布的均值与协方差信息经非线性函数传播后再通过加权计算重构变换后的统计特性无需对非线性函数进行近似。

UT的核心步骤如下Sigma点生成针对n维状态向量 \( \boldsymbol{x} \) 及其协方差矩阵 \( P \)采用对称采样策略生成 \( 2n1 \) 个Sigma点 \( \boldsymbol{\chi}_i \)\( i0,1,\dots,2n \)其中 \( \boldsymbol{\chi}_0 \bar{\boldsymbol{x}} \)状态均值\( \boldsymbol{\chi}_i \bar{\boldsymbol{x}} (\sqrt{(n\lambda)P})_i \)\( \boldsymbol{\chi}_{in} \bar{\boldsymbol{x}} - (\sqrt{(n\lambda)P})_i \)\( i1,\dots,n \)。

式中 \( \lambda \alpha^2(n\kappa) - n \) 为缩放参数\( \alpha \in (0,1] \) 控制Sigma点扩散程度通常取 \( 10^{-3} \)\( \kappa \) 为次要缩放参数默认取0。

权重分配为每个Sigma点分配均值权重 \( W_i^{(m)} \) 与协方差权重 \( W_i^{(c)} \)其中 \( W_0^{(m)} \lambda/(n\lambda) \)\( W_0^{(c)} \lambda/(n\lambda) (1-\alpha^2\beta) \)\( W_i^{(m)} W_i^{(c)} 1/[2(n\lambda)] \)\( i1,\dots,2n \)。

\( \beta \) 为分布先验知识参数对高斯分布取2时最优可优化协方差计算精度。

非线性传播将所有Sigma点通过非线性函数 \( f(\cdot) \) 或 \( h(\cdot) \) 传播得到变换后的Sigma点集 \( \boldsymbol{Y}_i f(\boldsymbol{\chi}_i) \) 或 \( \boldsymbol{Z}_i h(\boldsymbol{\chi}_i) \)。

统计量重构基于传播后的Sigma点与对应权重计算变换后的均值 \( \bar{\boldsymbol{y}} \sum_{i0}^{2n} W_i^{(m)} \boldsymbol{Y}_i \) 与协方差 \( P_y \sum_{i0}^{2n} W_i^{(c)} (\boldsymbol{Y}_i - \bar{\boldsymbol{y}})(\boldsymbol{Y}_i - \bar{\boldsymbol{y}})^T \)。

3 UKF算法流程UKF遵循卡尔曼滤波“预测-更新”的核心框架结合UT实现非线性状态与参数的同步估计具体流程如下

2.

1 预测阶段生成Sigma点基于k-1时刻后验状态 \( \hat{\boldsymbol{x}}_{k-1|k-1} \) 与协方差 \( P_{k-1|k-1} \)按UT策略生成 \( 2n1 \) 个Sigma点 \( \boldsymbol{\chi}_{k-1|k-1} \)。

Sigma点传播将每个Sigma点通过状态转移函数 \( f(\cdot) \) 传播得到预测Sigma点 \( \boldsymbol{\chi}_{k|k-1}^* f(\boldsymbol{\chi}_{k-1|k-1}, \boldsymbol{u}_{k-1},

\)忽略过程噪声影响。

预测先验统计量计算k时刻状态先验均值 \( \hat{\boldsymbol{x}}_{k|k-1} \sum_{i0}^{2n} W_i^{(m)} \boldsymbol{\chi}_{k|k-1}^* \)先验协方差 \( P_{k|k-1} \sum_{i0}^{2n} W_i^{(c)} (\boldsymbol{\chi}_{k|k-1}^* - \hat{\boldsymbol{x}}_{k|k-1})(\boldsymbol{\chi}_{k|k-1}^* - \hat{\boldsymbol{x}}_{k|k-1})^T Q \)加入过程噪声协方差Q。

2.

2 更新阶段观测Sigma点生成与传播基于先验状态 \( \hat{\boldsymbol{x}}_{k|k-1} \) 与协方差 \( P_{k|k-1} \) 重新生成Sigma点 \( \boldsymbol{\chi}_{k|k-1} \)并通过观测函数 \( h(\cdot) \) 传播得到观测预测Sigma点 \( \boldsymbol{Z}_{k|k-1} h(\boldsymbol{\chi}_{k|k-1},

\)。

观测统计量计算计算预测观测均值 \( \hat{\boldsymbol{z}}_{k|k-1} \sum_{i0}^{2n} W_i^{(m)} \boldsymbol{Z}_{k|k-1} \)观测协方差 \( P_{zz} \sum_{i0}^{2n} W_i^{(c)} (\boldsymbol{Z}_{k|k-1} - \hat{\boldsymbol{z}}_{k|k-1})(\boldsymbol{Z}_{k|k-1} - \hat{\boldsymbol{z}}_{k|k-1})^T R \)加入测量噪声协方差R状态与观测互协方差 \( P_{xz} \sum_{i0}^{2n} W_i^{(c)} (\boldsymbol{\chi}_{k|k-1} - \hat{\boldsymbol{x}}_{k|k-1})(\boldsymbol{Z}_{k|k-1} - \hat{\boldsymbol{z}}_{k|k-1})^T \)。

卡尔曼增益计算\( K_k P_{xz} P_{zz}^{-1} \)用于平衡先验估计与观测数据的权重。

后验更新更新k时刻后验状态 \( \hat{\boldsymbol{x}}_{k|k} \hat{\boldsymbol{x}}_{k|k-1} K_k (\boldsymbol{z}_k - \hat{\boldsymbol{z}}_{k|k-1}) \)后验协方差 \( P_{k|k} P_{k|k-1} - K_k P_{zz} K_k^T \)。

3 UKF在非线性动力系统识别中的优势

1 估计精度显著提升UKF通过UT直接传播状态分布的二阶统计特性估计精度可达三阶泰勒展开水平远高于EKF的一阶精度。

在强非线性系统中EKF的线性化近似会引入不可忽视的误差而UKF通过Sigma点精准捕获非线性变换对状态分布的扭曲效应有效降低误差累积。

数值研究表明在Lorenz混沌系统参数估计中UKF的卡方误差较EKF降低约40%对间接观测导致的观测方程非线性适配性更强识别结果与真实值吻合度更高。

2 鲁棒性与实用性增强UKF无需计算雅可比矩阵仅需提供非线性状态转移函数与观测函数的黑箱实现大幅降低了工程实现难度同时对模型不可导性、初始误差及测量噪声具有更强的适应性。

在结构健康监测等场景中当系统存在未知外力干扰或观测数据受强噪声污染时EKF易因线性化失效导致滤波发散而UKF可稳定输出状态与参数估计结果鲁棒性优势显著。

此外UKF可通过参数扩充策略实现状态与未知参数的同步估计无需额外优化算法适配复杂非线性动力系统的识别需求。

3 计算效率均衡优化尽管UKF需传播 \( 2n1 \) 个Sigma点但其计算复杂度与EKF同阶均为 \( O(n^

\)且避免了繁琐的导数推导与雅可比矩阵计算实际工程实现中的耗时反而更短。

对于高维非线性动力系统可通过优化Sigma点采样策略如稀疏采样进一步降低计算开销兼顾识别精度与实时性需求为工业场景中的在线识别提供了可行性。

4 结论与展望

1 研究结论本文系统研究了无迹卡尔曼滤波在不确定和间接测量非线性动力系统识别中的应用通过理论分析、数值仿真与实验验证得出以下结论UKF基于无迹变换无需对非线性函数进行线性化处理有效克服了EKF线性化误差大、雅可比矩阵计算复杂、鲁棒性差等缺陷在强非线性、间接测量、噪声干扰等场景下UKF的估计精度、稳定性与工程实用性均显著优于传统方法能够实现状态与参数的高精度同步估计数值仿真与结构实验均验证了UKF在混沌系统、非线性结构等对象识别中的有效性为不确定和间接测量条件下的非线性动力系统识别提供了有效解决方案。

2 未来展望尽管本文研究取得了一定成果但仍存在可拓展方向一是非高斯噪声适应优化实际系统噪声常偏离高斯分布未来可结合粒子滤波、贝叶斯估计等方法改进UKF的噪声适配能力二是高维系统计算效率提升针对大规模非线性动力系统可研究稀疏化Sigma点采样、分布式UKF等策略平衡精度与实时性三是多源异构观测融合结合多传感器数据特性构建融合UKF框架进一步提升复杂场景下的识别鲁棒性四是与机器学习结合引入深度学习模型重构隐藏状态优化间接观测方程的适配性实现更复杂非线性动力系统的精准识别。

⛳️ 运行结果 参考文献[1] 周兴林,袁琛琦,盛中华.纵横向运动耦合时车辆状态估计算法研究[J].机械设计与制造,

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