核心内容摘要
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1 一致凸空间的定义与模量定义
1（一致凸 / Uniformly convex）：设EEE为 Banach 空间。
若对任意ε0\varepsilon0ε0，存在δ0\delta0δ0使得对任意x,y∈Ex,y\in Ex,y∈E满足∥x∥≤1,∥y∥≤1,∥x−y∥≥ε, \|x\|\le 1,\ \|y\|\le 1,\ \|x-y\|\ge \varepsilon,∥x∥≤1,∥y∥≤1,∥x−y∥≥ε,都有∥x+y2∥≤1−δ, \left\|\frac{x+y}{2}\right\|\le 1-\delta,2x+y≤1−δ,则称EEE一致凸。
直观含义：单位球“足够圆”，任意两点在单位球边界上相距不小于ε\varepsilonε，其中点必须“明显落入球内”。
定义
2（一致凸模量）：定义函数δE(ε)=inf{ 1−∥x+y2∥:∥x∥≤1,∥y∥≤1,∥x−y∥≥ε},ε∈(0,2]. \delta_E(\varepsilon)=\inf\left\{1-\left\|\frac{x+y}{2}\right\|:\ \|x\|\le 1,\ \|y\|\le 1,\ \|x-y\|\ge \varepsilon\right\},\quad \varepsilon\in(0,2].δE(ε)=inf{1−2x+y:∥x∥≤1,∥y∥≤1,∥x−y∥≥ε},ε∈(0,2].则EEE一致凸等价于∀ε∈(0,2],δE(ε)
\forall\varepsilon\in(0,2],\quad \delta_E(\varepsilon)
∀ε∈(0,2],δE(ε)
证明：若EEE一致凸：给定ε\varepsilonε，存在δ0\delta0δ0使上式中任意候选对(x,y)(x,y)(x,y)都满足1−∥x+y2∥≥δ1-\left\|\frac{x+y}{2}\right\|\ge\delta1−2x+y≥δ，因此δE(ε)≥δ0\delta_E(\varepsilon)\ge\delta0δE(ε)≥δ0。
反之若δE(ε)0\delta_E(\varepsilon)0δE(ε)0：取δ=δE(ε)\delta=\delta_E(\varepsilon)δ=δE(ε)，则满足距离条件的任意x,yx,yx,y自动满足中点不等式，因此一致凸成立。
证毕。
例子：E=R2,∥⋅∥2下是一致凸的。
因为单位球是圆盘：边界两点间距≥ε时，中点必落入半径1的圆盘。
而∥⋅∥1,∥⋅∥∞的单位球有“棱角”，将导致不一致凸（见
）。
\boxed{ \begin{array}{l} \text{例子： }E=\mathbb R^2,\ \|\cdot\|_2\text{ 下是一致凸的。
}\\ \text{因为单位球是圆盘：边界两点间距}\ge\varepsilon\text{时，中点必落入半径 }1\text{ 的圆盘。
}\\ \text{而 }\|\cdot\|_1,\ \|\cdot\|_\infty\text{ 的单位球有“棱角”，将导致不一致凸（见
）。
} \end{array}}例子：E=R2,∥⋅∥2下是一致凸的。
因为单位球是圆盘：边界两点间距≥ε时，中点必落入半径1的圆盘。
而∥⋅∥1,∥⋅∥∞的单位球有“棱角”，将导致不一致凸（见
）。
2 几何刻画命题
1（一致凸⇒\Rightarrow⇒严格凸）：若EEE一致凸，则EEE严格凸：即对∥x∥=∥y∥=1,x≠y\|x\|=\|y\|=1,\ x\ne y∥x∥=∥y∥=1,x=y有∥x+y2∥
\left\|\frac{x+y}{2}\right\|
2x+y
证明：取ε=∥x−y∥0\varepsilon=\|x-y\|0ε=∥x−y∥0。
由一致凸存在δ0\delta0δ0使得∥x+y2∥≤1−δ
\left\|\frac{x+y}{2}\right\|\le 1-\delta
2x+y≤1−δ
故严格凸成立。
证毕。
例子：在(R2,∥⋅∥
中，单位圆周上任意不同两点的中点都在圆内，因此严格凸且一致凸。
\boxed{ \begin{array}{l} \text{例子：在 }(\mathbb R^2,\|\cdot\|_
\text{ 中，单位圆周上任意不同两点的中点都在圆内，}\\ \text{因此严格凸且一致凸。
} \end{array}}例子：在(R2,∥⋅∥2)中，单位圆周上任意不同两点的中点都在圆内，因此严格凸且一致凸。
命题
2（ℓ1\ell^1ℓ1与ℓ∞\ell^\inftyℓ∞在有限维中不一致凸）：在E=R2E=\mathbb R^2E=R2中，范数∥⋅∥1\|\cdot\|_1∥⋅∥1与∥⋅∥∞\|\cdot\|_\infty∥⋅∥∞都不是一致凸的。
证明（∥⋅∥1\|\cdot\|_1∥⋅∥1）：取x=(1,
,y=(0,
. x=(1,
,\qquad y=(0,
.x=(1,
,y=(0,
.则∥x∥1=∥y∥1=1\|x\|_1=\|y\|_1=1∥x∥1=∥y∥1=1，且∥x−y∥1=∥(1,−
∥1=
\|x-y\|_1=\|(1,-
\|_1=
∥x−y∥1=∥(1,−
∥1=
但中点x+y2=(12,
,∥x+y2∥1=
\frac{x+y}{2}=\left(\frac12,\frac12\right),\qquad \left\|\frac{x+y}{2}\right\|_1=
2x+y=(21,21),2x+y1=
这说明当ε=1\varepsilon=1ε=1（甚至ε=2\varepsilon=2ε=
时，不可能找到δ0\delta0δ0使中点范数≤1−δ\le 1-\delta≤1−δ，故不一致凸。
证明（∥⋅∥∞\|\cdot\|_\infty∥⋅∥∞）：取x=(1,